Inner Product of Functions
지금까지 lengths, angles, distances를 계산하는 내적(inner product)의 속성과 유한한 차원의 벡터의 내적에 대해 알아봤습니다. 이번에는 다른 타입의 벡터, 함수에 대한 내적에 대해 살펴보도록 하겠습니다.
지금까지 논의한 내적은 유한한 요소를 갖는 벡터에 대해서 정의되었습니다. 우리는 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n$ 을 n개의 값을 갖는 함수로 생각할 수 있습니다. 그리고 내적의 개념은 유한한 갯수의 요소를 갖는 벡터(countably infinite)와 연속된 값의 함수(uncountably infinite)로 일반화될 수 있습니다. 그러면 각 벡터 요소들의 합(식 (3.5) 참조)은 적분으로 바뀌게 됩니다.
두 함수 $u : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 과 $v : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 의 내적은 definite integral로 다음과 같이 정의될 수 있습니다.
\[\langle u, v\rangle := \int_a^b u(x)v(x)\mathrm{d}x, \quad a, b < \infty \tag{3.37}\]벡터의 내적과 마찬가지로 내적을 통해 norm과 orthogonality를 정의할 수 있습니다. 식 (3.37)의 값이 0이라면 두 함수 $u, v$ 는 직교(orthogonal) 합니다. 식 (3.37)의 내적을 수학적으로 정확하게 하려면 적분의 measures와 정의를 다루어야 하고, 이는 Hilbert space의 정의로 이어집니다. 또한, 유한 차원의 벡터에서의 내적과는 달리 함수의 내적은 발산(diverge)하여 무한대의 값을 가질 수 있습니다. 세부적인 내용들은 교재에서 다루지 않습니다.
Example 3.9 (Inner Product of Functions)
두 함수가 $u = \sin(x)$ , $v = \cos(x)$ 라고 한다면, $f(x) = u(x)v(x)$ 의 피적분(integrand) 은 다음의 그림과 같습니다.
여기서 $f(x)$ 는 기함수(odd function), 즉, $f(-x) = -f(x)$ 라는 것을 알 수 있습니다. 이 적분의 하한(lower limit)와 상한(upper limit)는 각각 $a = -\pi, b = \pi$ 이고, 적분의 결과는 0입니다. 따라서, $\sin$ 과 $\cos$ 은 서로 직교하는 함수입니다.
6.4.6장에서는 확률 변수의 내적에 대해서 살펴봅니다.