Lengths and Distances
3.1장에서 벡터의 길이를 계산하는데 사용할 수 있는 norms에 대해 살펴봤습니다. 내적(inner product)와 norms은 모든 내적이 norm을 유도한다는 점에서 밀접하게 연관되어 있습니다.
\[\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle} \tag{3.16}\]따라서, 내적을 통해 벡터의 길이를 계산할 수 있지만, 모든 norm이 내적에 의해 유도되는 것은 아닙니다. Manhattan norm(3.3) 은 내적없이 계산되는 norm의 예시입니다. 이번 장에서는 내적에 의해 유도되는 norm을 중심으로 lengths, distances, 그리고 angles와 같은 기하학적 개념을 알아보도록 하겠습니다.
Example 3.5 (Lenghts of Vectors Using Inner Products)
\[\| \boldsymbol{x}\| = \sqrt{\boldsymbol{x}^\top\boldsymbol{x}} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \tag{3.18}\]
(3.16)의 식을 사용하여 벡터의 길이를 계산하는데 내적을 사용할 수 있습니다. $\boldsymbol{x} = \lbrack1,1\rbrack^\top \in \mathbb{R}^2$ 라고 합시다. 만약 내적으로 dot product(3.5)를 사용하면, (3.16) 식에 dot prodcut를 적용해 다음과 같이 $\boldsymbol{x}$ 의 길이를 계산할 수 있습니다.이제, 아래의 (3.19)의 다른 내적을 선택했다고 합시다.
\[\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle := \boldsymbol{x}^\top\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&1\end{bmatrix}\boldsymbol{y} = x_1y_1 -\frac{1}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) + x_2y_2 \tag{3.19}\]만약 $x_1$ 과 $x_2$ 가 같은 부호라면 $x_1x_2 > 0$ 이므로 위의 내적으로 계산한 벡터의 norm은 dot product로 계산한 것보다 작습니다. (3.19)의 내적을 사용하면, 다음과 같이 벡터의 norm을 계산할 수 있습니다.
\[\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle = x_1^2-x_1x_2+x_2^2 = 1 - 1 + 1 = 1 \Longrightarrow \|\boldsymbol{x}\| = \sqrt{1} = 1 \tag{3.20}\]따라서, (3.19)의 내적을 사용한 $\boldsymbol{x}$ 는 dot product를 사용한 것보다 짧습니다.
Definition 3.6 (Distance and Metric). Inner product space $(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ 에 속하는 $\boldsymbol{x}$ 와 $\boldsymbol{y}$ 의 distance 는 다음과 같이 정의됩니다.
\[d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) := \|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}\| = \sqrt{\langle\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\rangle} \tag{3.21}\]내적으로 dot product를 사용할 때, 이 distance를 Euclidean distance 라고합니다. 그리고 metric 은 다음의 mapping으로 정의됩니다.
\[\begin{align*} d : &V \times V \rightarrow \mathbb{R} \tag{3.22} \\ &(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \mapsto d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \tag{3.23} \end{align*}\]
Metric $d$ 는 다음을 만족합니다.
- $d$ 는 positive definite 입니다. 즉, 모든 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V$ 에 대해 $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \geq 0$ 이고 $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = 0 \Longleftrightarrow \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}$ 입니다.
- $d$ 는 symmetric 합니다. 즉, 모든 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V$ 에 대해 $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})$ 입니다.
- Triangle inequality: 모든 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z} \in V$ 에 대해 $d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}) \leq d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) + d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z})$ 입니다.